Q&A

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Q1 数学科で学ぶ数学と高等学校で学ぶ数学の違いは何ですか？

次の無限和を考えます。

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ．．．
この数列にカッコをつけると次のようになります。
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ．．．= 0 + 0 + 0 + ．．．= 0
S = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ．．．= 1 + 0 + 0 + 0 + ．．．=
また、 + 1　も　- 1 　も限りなくたくさんありますから、
S = (1 + 1 - 1) + (1 + 1 - 1) + (1 + 1 - 1) + ．．．= 1 + 1 + 1 + ．．．= ∞
S = (1 - 1 - 1) + (1 - 1 - 1) + (1 - 1 - 1) + ．．．= -1- 1- 1 - ．．．= - ∞

ともなります。数学科で学ぶ生徒は、なぜこの様なことが起こるか簡単に説明できますが、それ以外の人は答えられないと思います。

数学は、本当は難しいことやデリケートなことがたくさんありますが、高等学校や大学の共通教育ではこのような難しさにはふれずに、将来必要となると思われる範囲の数学を教えています。

これに対して、数学科では本当の数学を教えています。高校などでの数学では、公式はなぜ正しいかを学ぶことが少ないのですが、数学科で学ぶことにより、公式がどうして正しいのかを含め、すべてを自分で納得できるようになります。

Q2 数学科ではどのような勉強をしますか？また、数学科の大学院に進学するとどのような良いことがありますか？

東北大学の数学科では、入学して最初の１年半は川内北キャンパスで他の学部の学生と共に、法律、経済、語学など色々なことを学びます。これらのほとんどは数学の学習とは無関係ですが、将来企業などで人を使う立場になったときに役立ちます。

次に、入学後１年半後の１０月から青葉山にある数学科に来て、代数、幾何、解析の基礎についての講義を演習つきで受けます。なお、３年の後半には単位がつく自主ゼミである、「数学講究」を取ることも出来ます。これは、仲間が集まって、先生の指導を受けながら行う自主ゼミです。

数学科の仕上げに当たるのが、４年生になってから受ける「セミナー」です。ここでは一人の先生に数人の学生がつき、英文で書かれた数学の専門書を読みます。数人の学生が交代で準備をしてきて、皆の前で本に書かれている内容を説明します。これにより、英語で書かれた専門の文献が読めるようになります。

博士課程前期（修士課程）に入学すると、指導してくれる先生を決め、その先生に少数の学生がつき、４年生の時よりやや高度な専門書や論文を読みます。その後、これらのセミナーで身についた知識を基にして、セミナーの先生の指導を受けながら、修士論文の作成を行います。出来上がった修士論文は、「修士論文発表会」で数学のすべての教員と同級生の前で発表し、合格となれば修士課程を終了（卒業）することができます。

大学院に進学する最も大きなメリットは、先生から１年ではなく３年間指導を受け、自分の知識を確実なものにし、数学研究の最前線がどこにあるのかを理解することができる点です。この様な大学院教育の価値が評価され、企業では研究・開発を行うことができるのは修士以上の学位を持っている人に限りますし、また教員となる場合には専修免許を取得することができます。

入学～一年半	一年半後（１０月）～	３年生後半	４年生
川内キャンパス	青葉山キャンパス　数学科	青葉山キャンパス数学科	青葉山キャンパス数学科
法律、経済、語学　等	代数、幾何、解析　の基礎	「数学講究」を取ることも出来る	セミナー
数学の学習とは無関係 ↓ 将来役立つ	演習つき講義	単位がつく自主ゼミ（仲間が集まって、先生の指導を受けながら行う）	・英語で書かれた数学の専門書を読む・皆の前で内容を説明する

博士課程前期（修士課程）
・指導してくれる先生を決める。・指導教官の下で４年の時よりやや高度な専門書や論文を読む。・修士論文の作成 ↓ 「修士論文発表会」で発表

合格すると…
修士課程修了（卒業）

Q3 大学の数学科で学ぶ数学には、どのようなものが有りますか？

大学の数学科で研究されている数学は、大きく分けると代数学、幾何学、解析学とその他に分けられます。

高等学校では、多項式の計算などを習いますが、代数学はこの部分を発展させたものです。そのうち整数論では、素数
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ・・・
が、数直線上でどのような分布をするかなど、整数の性質を調べます。また、
y² = x³ + a x + b　(a, b は定数)
のように、幾つかの多項式の零点の全体として書ける集合を代数多様体と呼びますが、代数幾何学では代数多様体の幾何学的性質を研究します。その他、立方体を立方体に写す写像の全体や２行２列の可逆行列の全体のように、性質の良い積が入った集合を群と呼びますが、群の様々な性質を研究する群論も代数学の重要な分野です。

幾何学は、図形の性質を調べる学問であり、図形の連続的な変形で不変な性質を調べる位相幾何学と、図形の滑らかな変形で不変な性質を調べる微分幾何学があります。
　２次元の閉じた境界のない曲面は、球面と幾つかの穴のあいた浮き輪のような曲面しかないことは、位相幾何学の最もやさしい結果の一つです。シャボン玉が作る図形は極小曲面と呼ばれる曲面になりますが、極小曲面の研究は微分幾何学の重要なテーマの一つです。

これに対し、解析学は高等学校で学ぶ微分積分学を発展させたものです。例えば、
Euler の公式： e^iz = cos z + i sin z
を使うと指数関数 e^z を複素数から複素数への関数に拡張することができ、これにより指数関数と三角関数が同種の関数であることが分かります。解析学には、このような複素変数の関数の性質を調べる関数論、周期関数を sin と cos の和として表しその性質を調べるフーリエ解析学、
y” + a(x) y’ + b(x) = 0
のような微分方程式の解を調べる微分方程式論、実数軸上の連続関数の全体C(R)のような関数が作る無限次元ベクトル空間の性質を調べる関数解析学、フラクタルのような規則的で複雑なものを調べる確率論などがあります。例えば、流体の性質を記述する微分方程式が良い解を持つことは、現在最も盛んに研究されている解析学のテーマの一つです。

その他の数学としては、数学が使っている論理や公理の性質を調べる数学基礎論などがあります。

Q4 大学の数学科では、どのような順序で数学を学びますか？

高等学校の数学では式の計算、図形の性質、微分積分などを学びますが、大学で学ぶ数学もこれらの継続となります。

大学に入学して最初の年には、高等学校で学んだより少し高度な微分積分学や行列の理論（線形代数学）を学びます。その後に、微分方程式の解き方、確率・統計の入門である数理統計学、複素数を変数とする関数の理論などを全学教育として学びます。

数学らしい数学は、１年の後半から始まります。

現在の数学は集合の言葉を使って述べられます。そのため、無限個の元が作る集合について最初に学びます。例えば、自然数、有理数、実数、複素数はどれも無限個の元を持ちますが、自然数 N と有理数 Q 、および実数 R と複素数 C はどちらの組も同じ程度の多さの無限個の元を持つことが分かり、実数Rや複素数Cは自然数Nや有理数Qよりはるかに沢山の元を持つことが分かります。

高等学校や大学の教養教育では、数列の収束や連続性は直感的に説明されますが、そのような方法では
R と複素数 C はどちらの組も同じ程度の多さの無限個の元を持つことが分かり、実数0 = 0 + 0 + 0 + ．．． = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ．．．=
1 +(- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ．．． = 1+ 0 + 0 + 0 + ．．． = 1
の様な妙なことがなぜ起こるのか説明できません。そこで、
（１）収束するとはどのようなことか。
（２）連続とはどのようなことか。
を次に学びます。それらは、１９世紀の初めに分かった事ですが、数学科では現在１年の後半から２年の前半にかけ、位相空間の理論として学びます。

この二つが分かると、現在使われている数学を学ぶことができるようになります。そこで、代数学、幾何学、解析学について詳しく学ぶことになります。

Q5 全学教育とはどのようなものですか？

大学では入学した後の２年間程度は、数学、物理、化学などの自然科学の他、法律、経済、語学、文学などの種々な学問を学びます。これは、専門の学問を深く学ぶためには、色々な学問について知っているほうが良いという考えに基づくものです。この様な大学入学直後に行う教育を「教養教育」と呼びますが、東北大学では大学全体で協力して広い分野の教育を行うという意味で、教養教育を呼ぶ代わりに「全学教育」と呼んでいます。

数学を学んだ後に企業に入った場合には、暫くするとチームリーダーになったり、部下を指導したりしますが、そのような場合にこの様な広い知職を持っていることが生きてきます。大学や高等学校の先生となった場合にも、広い範囲の知職を持っていることは、色々な方針を決めたり、進路指導を行ったりする場合などに生きてきます。

Q6 セミナーとはどのようなものですか？

大学では、何人かの人が集まり専門の本を読んだり、自分で調べてきたことを発表することがよく行われます。このような勉強の仕方をセミナー（seminar）と呼び、日本だけでなく外国でも行われています。

東北大学の数学科では、４年の時に数人の学生が１人の先生について英語の本を読む形でセミナーが行われます。少人数で行われるため、先生は参加している学生がどの程度理解しているかがよく分かり、適切な指導を行うことにより、学生はめきめき実力をつけることができます。学生から見ると、セミナーを受講することにより、毎週先生と会って色々なことを聞く機会が確保できます。またこれにより、外国語の研究に関する文献を読むことができるようになります。

Q7 自分は高校までの数学では他の人より成績が良かったのですが、大学の数学科に入ってもうまくやれるでしょうか？

高校までの数学の成績が良かったのなら、数学に適性があると思います。

高等学校の数学と大学の数学科の数学はかなり違いますが、理論的に考え、納得できるまで考える習慣を身につける努力をすれば、数学が理解できるようになると思います。このような努力を助けるため、数学科では大学院生をチューターにしたり、演習の時間に助教の先生に質問できるようにしています。もちろん、講義を行う先生の研究室を訪れて質問することも歓迎しています。

Q8 数学科で勉強する時の注意点を教えてください。

現在、高等学校までの数学では、公式を覚え、それを問題に適用する訓練を中心にしています。これに対して、数学科ではどうして公式ができるのかから始め、すべてを学生が納得できるようになることを目的にして教えています。このように、理論的に考え、自分が納得できるまで考える習慣は、企業などに就職した場合にも役立ちます。
自分で考え、自分で納得できるようになること、これが最も大切な点です。
これは数学科に限りませんが、大学で勉強する場合には、自分が心を開いて相談できる友達を見つけることが非常に大切です。自分が数学が良く分からないと思ったり、また個人的な悩みを感じたりしたときに、親しい友達は大きな力となってくれますし、その他にも、卒業後も助け合うことができます。

Q9 数学が分からなくなった場合には、どうすれば良いのですか？

数学は理系の学問ですから、知職をピラミッド型に積み上げて行きます。したがって、基礎となる重要な知識が無いと、その上に知職を積み上げることは困難です。
分からなくなった場合には、どこで分からなくなったかを考え、そこまで戻って勉強し直すことが、結果的には最も近道になります。高等学校では、友達や数学の先生に質問をして教えて貰うと良いと思います。数学科では、友達やチューターの他、助教の先生や講義を担当している先生に質問するのが良いと思います。教科書を自分で読み直し、勉強し直すのも有力な方法です。

Q10 数学科を卒業すると、どのような職業につけますか？

大学を卒業すると、その分野の研究者になる他、大学で学んだ経験をいかした職に就くことができます。　数学科の場合、数学自体を使う職業としては、大学などの研究職の他、高等学校や中学校の教員や、生命保険会社、損害保険会社、信託銀行などで確率計算を行い保険や年金の掛け金をどうするかを計算するアクチュアリーという職業があります。

数学科では数学を学ぶ課程で身につけた論理力、本質を見極める力、問題を解決するために考える力をいかす職業としては、ソフトや通信関連の職業があり、ソフトを作る会社や電気会社などの製造業で、プログラム作成やシステム・エンジニアなどとして活躍しています。

その他、数学関係の本の編集をしている人、厚生省や各県などで公務員として働く人もいますし、様々な分野で活躍しています。　数学科には学生の数よりはるかに多くの求人が来ています。

Q11 数学科での就職活動はどうなりますか？

数学科は理学部にあり、工学部などと同じく、就職担当が企業からの情報を集め、それを学生に紹介して就職活動の世話をしています。

学生が就職活動をする場合には、数学科からの推薦にもとづき就職活動を行う方法と、個人が色々な企業を訪れ直接交渉する方法があります。推薦は数学科が内定を貰えれば入社することを保障する制度ですので、推薦をもらった時点で一社に絞って活動するのが原則で、内定を得られる確率は５割程度と高くなります。これに対して、一般応募の場合には、数社同時に交渉することが可能ですが、内定率は１割程度になります。

就職活動で重要なのは、「応募している会社に入社した場合にはどのような仕事をしたいか」、「今まで学んだことを、これからどのようにいかしたいか」について、はっきりとした考えを持つことです。これが分かると、企業は、会社でも一生懸命働いてくれるものと安心感を持つことができます。

なお、現在日本の企業では実力主義が浸透してきており、どの大学を卒業したかではなく、どれだけの実力を持っているかを本当に評価して採用や会社内での配置を決めています。東北大学に入学できたということに満足せず、卒業までに色々勉強して実力をつけることが大切です。数学科は、学生に力をつけることができるよう、様々な工夫をしています。

Q12 東北大学に入学するには、どれ位のお金がいりますか？

平成30年度に入学する人の場合、入学時に計549,900円（入学料282,000円と前期授業料267,900円の合計予定額）を支払うことになります。以降も半年毎に授業料として267,900円（予定額）が必要です。詳しくは東北大学のホームページの「入学料及び授業料等納付額・方法」を見てください。東北大学の場合、私立大学の大半で求められる施設整備費や実験実習費は不要です。4月と10月には教科書を買う必要がありますが、数学科の場合には1万円から2万円程度で済みます。

なお、扶養者が亡くなったり、風水害の被害を受けるなどのことがあれば、入学金の免除が申請できます。また、授業料を支払うことが困難でありかつ学業成績が優秀である人には、授業料免除の制度もあります。日本学生支援機構（旧日本育英会）による奨学金の貸与のほか、地方公共団体や民間奨学団体による奨学金の貸与や給与の制度などがありますが、これらについては東北大学のホームページの「学生生活」を見てください。

Q13 仙台でアパートで学生生活を送るには、どの程度のお金が必要ですか？

仙台は人口100万余りの都市ですが、首都圏に比べ住居費がかなり安く、仙台市内のアパート・マンションは、場所や古さなどにもよりますが、6帖から8帖程度で35,000円位から60,000円位です。東北大学生協でも物件を斡旋していますので、そちらも見てください。

数学科の学生に対しアンケート調査をしたところ、1ヶ月の生活費は平均で10万前後でしたが、9万円位でアパートで生活をしている人も結構いました。もちろん、大学の寮に入ればもっと安くなります。

Q14 数学はどのように社会に役立っていますか？

小学校で勉強する算数を思い出してください。
これらはギリシャ時代までにできましたが、買い物をするときには、足し算、引き算、掛け算、割り算を使ってお金の計算をしています。また、道を歩いたり、車を運転する場合には、物の形を考え、どうすれば近道ができるかなどを考えます。買い物の時には、レジに任せることもできますが、その場合にはとんでもないお金を請求されて支払う可能性があります。小学校で学ぶ算数は、日常生活を送るために不可欠です。

これに対して、中学校以降で学ぶ数学は科学の基礎となっています。　現在社会は、発達した科学と技術を基礎として作られていますが、科学の本質は自然現象を定量的に扱う点にあります。そして、定量的に扱うための道具が数学です。数学は「科学を記述する言葉」としての役割が重要です。

その他にも、数学を勉強することにより論理力がつきますし、数学の問題を解く努力は将来社会で問題を解くための発想力の育成に役立ちます。

Q15 数学がその他の世界に役立った例を教えてください。

ニュートンは力学に応用することを考えて微分積分学を作りました。したがって、数学は力学に役立ち、力学は工学の基礎ですから、数学は物作りに役立っています。

現代社会は電気なしには成り立ちませんが、電磁気学にはベクトル解析という数学が使われています。また、周期関数を扱うフーリエ解析という数学や、微分方程式も重要です。

医学などの生命科学では、非常に複雑な生命体を扱いますから、物理の様に正確に将来予測ができないので、確率や統計の考え方を使います。「この治療を行うと、この患者さんが直る確率は70%あり、直らない場合も深刻な副作用はないから、その治療を行うべきだ」などと考えます。

最近の世界経済は非常に変化が急激で、景気変動の予測などが大切です。この様なことを行うのは経済学ですが、現代の経済学にはベクトル、行列、微分積分などの数学が頻繁に使われます。

計算機と数学との関係も密接です。文字通り「計算機」は計算を行うのが主な仕事ですから、当然数学と密接な関係があり、数学の基礎を研究する理論（数学基礎論）と計算機の基礎理論の一部は、ほとんど同じだといっても良いくらいです。

その他、20世紀の2大発見は、相対性理論と量子力学だと思われますが、相対性理論では「重力＝空間の曲がり」と考えますから、曲がった空間の理論である「リーマン幾何学」が使われます。量子力学では、その基本方程式の解は「物が存在する確率」を与えますから確率の考えが重要ですが、その他にも基本方程式が無限次元空間での微分方程式で与えられるなど、高度な数学が使われています。

なお、最近の応用例では、通信の安全のために代数学が使われ、投資の理論であるファイナンスの理論に確率論が使われています。

Q16 数学の先生方が行っている研究は、将来本当に社会の役に立つのでしょうか？

数学の様な基礎の中でも基礎となる理論は、世の中の役に立つまで時間がかかり、また数学として研究されたときには考えなかったような形で使われることがほとんどです。そのため、数学者が今行っている研究がこの様に使われると断言することは困難ですし、またそのような研究は大きな成功を生むことは少ないと思います。

数学者は、数学としての理論的な美しさを求めて研究しています。それが、数学の研究方法です。しかし、数学が科学の基礎を担っていることから、結果的に数学が社会の役に立つことは歴史が証明しています。

Q17 勉学や私生活での悩みを解決するにはどうすれば良いですか？

普通の軽い問題は、自分の親しい友達に相談するのが良いと思います。

しかし、深刻な悩みは理学部にある学生支援室や東北大学の学生相談所などに相談することも出来ます。これらの相談所は、相談に来た学生の秘密を守ってくれますし、必要に応じて所属する学科や専攻の先生に働きかけてくれます。

大学は多くの人が共同で勉強し、研究する場です。人間は色々な悩みや、他人との摩擦を持つのが普通であり、相談するのを遠慮する必要はありません。他人に自分の悩みを話すことにより、自分の悩みを客観的に考えることができるという利点もあります。
取り返しがつかないような深刻な問題となる前に、他の人に相談し、対策をとることをお勧め致します。

Q18 自分が指導を受けている先生と相性が悪いと思ったときは、どうすれば良いですか？

その先生と話し合って自分に合った教え方をしてくれる様お願いするのが普通の方法ですが、それが難しいと思ったら自分の話しやすい他の先生に相談することもできます。また、理学部にある学生支援室や東北大学の学生相談所などに相談することも出来ます。

私達は、学生を教え、力をつけ、良かったと思って卒業してくれることを最大の目的として働いていますから、できる限りの協力を致します。

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