見村　万佐人【Masato MIMURA】准教授

研究分野

幾何学的群論・離散構造


主に興味をもっている研究対象

 性質の良いコンパクト多様体や複体の基本群となる群は，元の幾何学的な対象のもつ性質を引き継ぎます．これは基本群が元の対象の普遍被覆空間によい作用をもつためです．このように，"幾何学的な対象への群作用を通じて群を研究する"ことを指導原理とする比較的新しい数学の分野が「幾何学的群論（Geometric Group Theory）」です．さらに，無限次元バナッハ空間（ヒルベルト空間など）のように，より解析的な対象への群作用を通じて群の性質を調べることもできます．後者の重要な例として，従順性（amenability）や性質(T)（Kazhdan's property (T)）と呼ばれる性質があります．

 興味深い離散構造として，「エクスパンダー族（expander family）」と呼ばれる有限グラフの無限族があります．頂点数が発散しかつグラフの次数が一様有界（従って，辺密度の意味で"最も疎"といえます）にもかかわらず，適切な意味で完全グラフやランダムグラフに準ずるふるまいをするグラフ族を指します．エクスパンダー族は，堅牢なネットワーク・ランダムウォークによる大きなランダム性の生成・距離埋め込みと粗い幾何（coarse geometry）・篩法（sieve mathod）など，応用／純粋数学の垣根を越えて様々な分野に顔を出します．

 実は，上の2つのパラグラフで挙げたトピックたちは群のケーリーグラフ（Cayley graph）を通じて関係しています．私は，「群の剛性現象」と「（ラベルつき）ケーリーグラフの収束」という2つの方向を主軸として，幾何学的群論や離散構造の研究を進めています．エクスパンダー族に関し，"ハンガリー型の組合せ論（Hungarian combinatorics）"を源流とする大きなブレイクスルーが近年ありました．これに関連して，セメレディ（Szemeredi）の理論や擬ランダム性にも興味をもつに至ります．

研究指導にあたって

 興味のあることを考え抜くこと，そして，そもそも興味を幅広く持てるようにアンテナを張り巡らせておくこと．
この両輪が大事です．

備考

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